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【一陸技】精選300題_問026-コンデンサの過渡現象

コンデンサの放電(過渡現象)

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  会社の同僚たちと一陸技の勉強会をしています。
  勉強会では「合格精選300題 一陸技問題集」を使っています。
  本ブログでは勉強会で解いた問題の解説を掲載していきます。

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(1998/10)
吉川 忠久

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問26
下図の回路において、E0に充電されたコンデンサの電気量をスイッチSを閉じて1秒間閉じて抵抗Rを通じて放電したとき、コンデンサの端子電圧はE1となった。このとき、コンデンサの静電容量C[F]を表す式を求めよ。


  問026


コンデンサが放電する場合の「過渡現象」の問題です。


 過渡現象とは「ある状態から別の状態に自然に移行する現象」のことです。


つまり本問題では、
コンデンサの放電が始まって放電しきるまでの過渡現象を扱います。

過渡現象中、コンデンサ端子電圧はどのように変化していくのでしょうか?
このときのコンデンサ端子電圧の式を求められるかどうか(おぼえているかどうか)が、
本問題の核心です。

コンデンサの過渡現象を解く問題には、解法パターンがあります。
これはコンデンサを充電する場合にも適応できます。

コンデンサの過渡現象は次のように解いていきます。


 ①キルヒホッフの電圧側を用いて回路方程式を立てる
    ↓
 ②電荷qについて回路方程式を解く。
    ↓
 ③回路方程式を解く過程で積分定数が出てくるので、
   時間t=0の場合について積分定数を求める。
    ↓
 ④電荷の式が求まるので、
  それを微分すれば電流の式が求まり、
  さらに電流の式に抵抗をかければ電圧の式が求まります。



それでは、順繰りに実際に解いていきましょう。


①キルヒホッフの電圧側を用いて回路方程式を立てる

任意の時刻において、抵抗Rを流れる電流をi,
コンデンサーに蓄えられている電荷をqとすると、
キルヒホッフの電圧側より、

 026-01回路方程式

という回路方程式を立てることができます。


②電荷qについて回路方程式を解く

ここで、電流は「単位時間当たりの電荷量の変化」と定義されるので、

 026-02単位時間当たり電荷の変化量

となります。
コンデンサの電荷が減少することで電流が流れるので、
右辺にマイナスが付いています。

このiの式を①で立てた回路方程式に代入し、
qについてまとめていきます。

 026-03Qについて解く

両辺、積分すればqの式が求まりますね。
この積分の過程で積分定数Aが出てきます。

 026-04積分して解く

つぎに積分定数Aを求めます。


③時間t=0の場合について積分定数Aを求める。

積分定数Aは時間t=0の場合について求めます。
t=0のときコンデンサに蓄えられていた電荷をq0とすると、
上述のqの式より、

 026-05積分定数を求める

となり、積分定数Aを求めることができました。
よって、qの式は、

 026-06qを求める

これが過渡現象におけるコンデンサに蓄えられている電荷量の変化を表す式です。


④qの式より、電流,電圧を求める

電流は単位時間当たりの電荷の変化量で定義されるので、
上記のqの式を微分することで電流を求めることができます。

 026-07Iを求める

さらにこの式にRをかけることでコンデンサ端子電圧Vを求めることができます。

 026-08Vは

ここで、q0/Cはスイッチを閉じる前の
コンデンサ端子電圧E0を表しているので、
過渡現象におけるコンデンサ端子電圧の変化を表す式は次のようになります。

 026-08Vは2

本式にV=E1,t=1を代入し、
Cについて解いてやれば解答が出ます。
その計算過程は問題集の通りなのでそちらを参照してください。


CRは時定数

ここで、式中のCRを時定数といいます。
単位は[秒]です。
この時定数は、過渡現象が63.2%に到達するまでの時間を示しています。

時定数はRとCの積なので、
RとCが大きいほど63.2%に到達するまでの時間が多くかかることがわかります。
Rが大きいほど電流が流れにくく(電荷が移動しにくく)、
Cが大きいほど多くの電荷を蓄えているからです。

では、なぜ63.2%という中途半端な数字なのでしょうか?
これは自然対数の底eからきています。

Vの過渡現象の式にt=CRを代入してみるとわかります。

 V=E0/e

ここで、e=2.718281828...なので、
CR秒後のVは約0.368E0となります。

つまり、Vはスイッチを閉じてから36.8%まで減少しており、
過渡現象は63.2%進行したことになります。


回路の特性を検討する場合、所要時間ではなくこの時定数を利用します。
CとRの積なので、計算しやすいからです。

最後に、過渡現象における
時間tとコンデンサ端子電圧Vのグラフを下図に示しておきます。


  026-09過渡グラフ


参考文献

理系なら知っておきたい物理の基本ノート 電磁気学編理系なら知っておきたい物理の基本ノート 電磁気学編
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為近 和彦

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